Pernyataan Majemuk (Konjungsi, Disjungsi, Implikasi, Biimplikasi)

Posted on

Dalam logika matematika kita mengenal Pernyataan Majemuk. Pernyataan Majemuk adalah dua pernyataan atau lebih yang digabungkan menjadi satu, dengan aturan tertentu. Aturan itu dalam logika matematika bisa dibagi menjadi Empat Macam, yakni:

  • Aturan Konjungsi
  • Aturan Disjungsi
  • Aturan Implikasi
  • Aturan Biimplikasi

Untuk penjelasan lengkapnya silakan simak pembahasan dibawah ini dengan seksama.
Pernyataan Majemuk Konjungsi, Disjungsi, Implikasi, Biimplikasi

Aturan Konjungsi

Konjungsi adalah kalimat majemuk yang dihubungkan dengan kata hubung “dan”. Sehingga jika p dan q adalah suatu pernyataan maka konjungsi dari p dan q dilambangkan dengan “p ∧ q”. Dibawah ini adalah tabel kebenaran konjungsi yaitu:

tabel kebenaran konjungsi

Dari tabel itu bisa disimpulkan bahwa konjungsi dari p dan q hanya bernilai benar jika pernyataan p dan q keduanya bernilai benar. Selain itu konjungsi ini bernilai salah.

Aturan Disjungsi

Disjungsi adalah kalimat majemuk yang dihubungkan dengan kata hubung “atau”. Sehingga jika p dan q adalah suatu pernyataan maka disjungsi dari p atau q dilambangkan dengan : “ p ∨ q ’’ Tabel kebenaran untuk disjungsi
tabel kebenaran disjungsi

Dari tabel itu bisa diambil kesimpulan bahwa disjungsi dari p atau q hanya bernilai salah jika pernyataan p serta q keduanya bernilai salah. Selain itu konjungsi ini bernilai benar.

Contoh Soal Disjungsi

1. Tentukanlah nilai kebenaran dari setiap pernyataan majemuk berikut ini:
(a) 9 dan 14 adalah bilangan yang habis dibagi 3
(b) Bandung atau Palembang adalah kota yang terletak di pulai Jawa
(c) 20 habis dibagi 6 dan jumlah sudut-sudut dalam segitiga adalah 360º
(d) Surabaya ibu kota provinsi Jawa Timur atau ayah pergi ke kebun bersama kakak

Jawab:
(a) 9 dan 14 adalah bilangan yang habis dibagi 3.
Tinjau:
9 adalah bilangan yang habis dibagi 3 (Benar)
14 adalah bilangan yang habis dibagi 3 (Benar)
Maka B ∧ S ≡ S
Jadi pernyataan majemuk di atas bernilai Salah

(b) Bandung atau Palembang adalah kota yang terletak di pulau Jawa.
Tinjau:
Bandung adalah kota yang terletak di pulau Jawa (Benar)
Palembang adalah kota yang terletak di pulau Jawa (Salah)
Maka B ∨ S ≡ B
Jadi pernyataan majemuk di atas bernilai Benar

(c) 20 habis dibagi 6 dan jumlah sudut-sudut dalam segitiga adalah 360º
Tinjau:
20 habis dibagi 6 (salah)
Jumlah sudut-sudut dalam segi tiga adalah 360º (salah)
Maka S ∧ S ≡ S
Jadi pernyataan majemuk di atas berniali Salah

(d) Surabaya ibu kota provinsi Jawa TImur atau ayah pergi ke kebun bersama kakak.
Tinjau:
Surabaya ibu kota provinsi Jawa Timur (Benar)
Ayah pergi ke kebun bersama kakak (faktual)
Maka B ∨ (Faktual) ≡ B
Jadi pernyataan majemuk di atas bernilai Benar.

Aturan Implikasi

Implikasi adalah kalimat majemuk yang disusun dari dua pernyataan p dan q dalam bentuk: “jika p maka q” ditulis “p → q. Dalam bahasa lain ditulis:

Baca Juga :  [Logika Matematika] Kalimat Terbuka dan Penjelasannya

” q jika p” ,
“p syarat cukup untuk q”,
“q syarat perlu agar p”

Dimana p dinamakan sebab kejadian (anteseden) dan q dinamakan akibat kejadian (konsekwen). Untuk tabel kebenaran implikasi bisa dilihat pada gambar dibawah ini.
tabel kebenaran implikasi

Dari tabel diatas bisa disimpulkan bahwa implikasi dari jika p maka q akan bernilai salah jika p benar dan q salah. Selain itu implikasi akan bernilai benar. Baca Juga: Contoh Soal Logika Matematika Kalimat Terbuka

Contoh Soal Implikasi

Tentukan nilai kebenaran dari setiap implikasi berikut ini:

(a) Jika kambing berkaki dua maka kerbau berkaki empat
(b) Jika 3 faktor dari 12 maka 12 habis dibagi 5
(c) Jika x habis dibagi 3 maka x habis pula dibagi 6
(d) Jika x bilangan ganjil maka x tidak habis dibagi 4
(e) Jika a bilangan ganjil dan b bilangan genap maka a + b bilangan ganjil.

Jawab:
(a) Jika kambing berkaki dua maka kerbau berkaki empat
Misalkan:
p: “Kambing berkaki dua” (Salah)
q: “Kerbau berkaki empat” (Benar)
Maka: p → q ≡ S → B ≡ B
Jadi pernyataan majemuk di atas bernilai Benar

(b) Jika 3 faktor dari 12 maka 12 habis dibagi 5
Misalkan:
p: “3 faktor dari 12” (Benar)
q: “12 habis dibagi 5” (Salah)
Maka: p → q ≡ B → S ≡ S
Jadi pernyataan majemuk diatas bernilai Salah

(c) Jika x habis dibagi 3 maka x habis pula dibagi 6
Ambil x = 9 sehingga pernyataan diatas berbunyi:
“Jika 9 habis dibagi 3 maka 9 habis pula dibagi 6”
Sehingga B → S ≡ S
Jadi pernyataan majemuk diatas bernilai Salah

(d) Jika x bilangan ganjil maka x tidak habis dibagi 4.
Karena semua bilangan ganjil tidak habis dibagi 4 maka pernyataan tersebut bernilai benar

(e) Jika a bilangan ganjil dan b bilangan genap maka a + b bilangan ganjil
Karena jumlah bilangan ganjil dan genap selalu menghasilkan bilangan ganjil, maka pernyataan di atas benilai benar

Aturan Biimplikasi

Biimplikasi adalah kalimat majemuk yang disusun dari dua pernyataan p dan q dalam bentuk “p jika dan hanya jika q” ditulis “p ↔ q”. Dalam hal ini p dan q keduanya dapat dianggap anteseden dan dapat dianggap konsekwen. Tabel kebenaran untuk Biimplikasi dapat dilihat pada gambar dibawah ini.
tabel kebenaran biimplikasi

Dari tabel diatas dapat disimpulkan bahwa biimplikasi dari p jika dan hanya jika q akan bernilai benar jika p dan q keduanya bernilai sama. Selain itu implikasi akan bernilai salah.

Baca Juga :  Contoh Soal Kalimat Terbuka Dalam Matematika

Contoh Soal Biimplikasi

1. Tentukanlah nilai kebenaran dari setiap biimplikasi berikut ini:

(a) Soeharto adalah presiden RI pertama jika dan hanya jika danau Toba terletak di provinsi Sumatera Barat.
(b) 15 adalah bilangan genap jika dan hanya jika 15 tidak habis dibagi 2.
(c) x adalah bilangan prima jika dan hanya jika x tidak habis dibagi 6
(d) ABC adalah segitiga sama sisi jika dan hanya jika ketiga sisinya sama panjang.

Jawab:

(a) Soeharto adalah presiden RI pertama jika dan hanya jika danau Toba terletak di provinsi Sumatera Barat.
Misalkan
p: “Soeharto adalah presiden RI pertama” (salah)
q: “danau Toba terletak di provinsi Sumatera Barat” (salah)
Maka: p ↔ q ≡ S ↔ S ≡ B
Jadi pernyataan majemuk diatas bernilai Benar

(b) 15 adalah bilangan genap jika dan hanya jika 15 tidak habis dibagi 2.
Misalkan
p: “15 adalah bilangan genap” (salah)
q: “15 tidak habis dibagi 2” (Benar)
Maka: p ↔ q ≡ S ↔ B ≡ S
Jadi pernyataan majemuk di atas bernilai Salah

(c) x adalah bilangan prima jika dan hanya jika x tidak habis dibagi 6
Tinjau implikasi arah ke kanan dan ke kiri, diperoleh:
Jika x adalah bilangan prima maka x tidak habis dibagi 6 (Benar)
Jika x tidak habis dibagi 6 maka x adalah bilangan prima (Salah)
Karena biimplikasi harus benar pada kedua arah (kiri dan kanan),
maka biimplikasi tersebut bernilai salah

(d) x lebih dari 6 jika dan hanya x lebih dari 3.
Tinjau implikasi arah ke kanan dan kekiri, diperoleh
Jika x lebih dari 6 maka e lebih dari 3 (Benar)
Jika x lebih dari 3 maka x lebih dari 6 (salah)
Karena biimplikasi harus benar pada kedua arah (kiri dan kanan), maka biimplikasi tersebut bernilai Salah.

(e) ABC adalah segitiga sama sisi jika dan hanya jika ketiga sisinya sama panjang.
Tinjau implikasi arah ke kanan dan ke kiri, diperoleh:
Jika ABC adalah segitiga sama sisi maka ketiga sisinya sama panjang (Benar)
Jika ketiga sisinya sama panjang maka ABC adalah segitia sama sisi (Benar)
Karena benar pada kedua arah (kiri dan kanan), maka biimplikasi tersebut bernilai Benar.

Itulah penjelasan Logika matematika Pernyataan Majemuk. Semoga bisa bermanfaat dan dapat menjadi referensi kalian. Terimakasih sudah berkunjung dan jangan lupa untuk membaga artikel lainnya